题目内容

在平面直角坐标系中,已知椭圆的离心率,且椭圆C上一点到点Q的距离最大值为4,过点的直线交椭圆于点
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设P为椭圆上一点,且满足(O为坐标原点),当时,求实数的取值范围.

(1);(2)

解析试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面内两点间距离公式等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质以及数形结合的数学思想方法,考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问,先利用离心率列出表达式找到的关系,又因为椭圆上的点到点的距离最大值为4,利用两点间距离公式列出表达式,因为在椭圆上,所以,代入表达式,利用配方 法求最大值,从而求出,所以,所以得到椭圆的标准方程;第二问,先设点坐标,由题意设出直线方程,因为直线与椭圆相交,列出方程组,消参韦达定理得到两根之和、两根之积,用坐标表示得出,由于点在椭圆上,得到一个表达式,再由,得到一个表达式,2个表达式联立,得到的取值范围.
试题解析:(Ⅰ)∵ ∴         (1分)
则椭圆方程为



时,有最大值为
解得,椭圆方程是       (4分)
(Ⅱ)设方程为
   整理得.
,得.
              (6分)
  则,

由点P在椭圆上,得化简得① (8分)
又由代入得
     化简,得
,   ∴②     (10分)
由①,得
联立②,解得     (12分)
考点:1.椭圆的标准方程;2.两点间的距离公式;3.配方法求函数最值;4.韦达定理.

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