题目内容
设
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)的零点个数.
(1)见解析；(2)见解析.
解析试题分析：(1)先由对数函数的定义求得函数的定义域，然后对函数求导，对
的取值进行分类讨论，根据函数的单调性与导数的关系求得每种情况下的函数的单调区间；(2) 对的取值进行分类讨论，当
时分
和
两种情况，由
， 
，结合零点存在性定理可知
在
上有一个零点；当
时，根据函数的单调性求得函数的极小值
，对极小值与0的关系分三种情况进行分类讨论，结合零点存在性定理求得每种情况下的函数的零点个数.
试题解析：(1) 的定义域是， 1分
∵
， 2分
当时，
，是的增区间， 3分
当时，令
，
，（负值舍去）
当
时，
；当
时， 5分
所以
是的减区间，
是的增区间. 6分
综合：当时，的增区间是；
当时，的减区间是，的增区间是. 7分
(2)由(1)知道当时，在上是增函数，当时有零点
， 8分
当时，
， 
， .9分
(或当
时，
；当
时，
)，
所以在上有一个零点， 10分
当时，由(1)知，在上是减函数，在上是增函数，所以当
是，有极小值，其最小值为. 11分
当
，即
时，无零点，
当
，即
时，有一个零点，
当
，即
时，有2个零点. 13分
综合：当时，
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，试利用基本初等函数的图象，判断f(x)有几个零点，并利用零点存在性定理确定各零点所在的区间(各区间长度不超过1)．
中，已知椭圆
：
的离心率
，且椭圆C上一点
到点Q
的距离最大值为4，过点
的直线交椭圆
（O为坐标原点），当
时，求实数
的取值范围.
的解集为M.
，求实数
的取值范围；
，求实数
的图像在点
处的切线方程为
.
的值；
在区间
上的最大值；
上存在两点
使得
是以坐标原点
为直角顶点的直角三角形，且斜边
的中点在
轴上，求实数
的取值范围.
图象上一点
处的切线方程为
.
的值；
在
内有两个不等实根，求
的取值范围（其中
为自然对数的底数）；（3）令
，若
的图象与
轴交于
（其中
），
的中点为
，求证：
处的导数
.
的单调区间；
时，是否存在整数
，使不等式
恒成立？若存在，求整数
的方程
在
上恰有两个相异实根，求实数
的取值范围.
；②
；③
．（以上三式中
均为常数，且
）
，
，求出所选函数
的解析式（注：函数定义域是
．其中
表示8月1日，
表示9月1日，…，以此类推）；