Question

15．若椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1与x轴、y轴正半轴分别交于点A、B，点C是椭圆上位于第一象限的点，则四边形OACB面积的最大值为$\frac{15\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 求得A，B的坐标，设C（5cosα，3sinα）（0＜α＜$\frac{π}{2}$），由四边形OACB面积为S=S_△OBC+S_△OAC═$\frac{15}{2}$（cosα+sinα），由两角和的正弦公式和正弦函数的最值，可得最大值．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1，可得a=5，b=3，
可设C（5cosα，3sinα）（0＜α＜$\frac{π}{2}$），
即有A（5，0），B（0，3），
四边形OACB面积为S=S_△OBC+S_△OAC
=$\frac{1}{2}$•3•5cosα+$\frac{1}{2}$•5•3sinα
=$\frac{15}{2}$（cosα+sinα）=$\frac{15\sqrt{2}}{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
当α=$\frac{π}{4}$时取得最大值，且为$\frac{15\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：$\frac{15\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的参数方程的运用，考查三角函数的最值的求法，注意运用正弦函数的最值，属于中档题．