Question

12．抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=$\frac{2π}{3}$．设线段AB的中点M在l上的投影为N，则$\frac{|MN|}{|AB|}$的最大值是$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义结合梯形的中位线定理，得2|MN|=a+b．再由余弦定理得|AB|²=a²+b²+ab，结合基本不等式求得|AB|的范围，从而可得$\frac{|MN|}{|AB|}$的最大值．

解答 解：设|AF|=a，|BF|=b，A、B在准线上的射影点分别为Q、P，
连接AQ、BQ　　
由抛物线定义，得|AF|=|AQ|且|BF|=|BP|，
在梯形ABPQ中根据中位线定理，得2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得|AB|²=a²+b²-2abcos$\frac{2π}{3}$=a²+b²+ab，
配方得|AB|²=（a+b）²-ab，
又∵ab≤（$\frac{a+b}{2}$） ²，
∴（a+b）²-ab≥（a+b）²-（$\frac{a+b}{2}$） ²=$\frac{3}{4}$（a+b）²
得到|AB|≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$（a+b）．
∴$\frac{|MN|}{|AB|}$≤$\frac{\frac{a+b}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}（a+b）}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{|MN|}{|AB|}$的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题给出抛物线的弦AB对焦点F所张的角为直角，求AB中点M到准线的距离与AB比值的取值范围，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、梯形的中位线定理和基本不等式求最值等知识，属于中档题．