Question

3．如图，在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，侧棱AA₁与底面ABC的所成角为60°，AA₁=2，底面ABC是边长为2的正三角形，点G为△ABC的重心，点E在BC₁上，且BE=$\frac{1}{3}$BC₁．
（1）求证：GE∥平面AA₁B₁B；
（2）求平面B₁GE与底面ABC所成锐角二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）连接B₁E，并延长交BC于点F，连接AB₁，AF，证明GE∥AB₁，然后证明GE∥平面AA₁B₁B；
（2）过点A₁作A₁O⊥AB，垂足为O，连接OC，以O为原点，分别以OC，OB，OA为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系O-xyz，求出相关点的坐标，平面B₁GE的一个法向量，平面ABC的一个法向量，即可求解二面角的余弦函数值．

解答 解：（1）证明：连接B₁E，并延长交BC于点F，连接AB₁，AF，
∵ABC-A₁B₁C₁是三棱柱，∴BC∥B₁C₁，∴△EFB～△EB₁C₁，
又∵BE=$\frac{1}{3}B{C}_{1}$，∴$\frac{BE}{E{C}_{1}}=\frac{EF}{E{B}_{1}}=\frac{BF}{{B}_{1}{C}_{1}}=\frac{1}{2}$，
∴BF=$\frac{1}{2}$BC，∴F是BC的中点．
∵点G是△ABC的重心，∴点G在AF上，且$\frac{GF}{AG}=\frac{EF}{{EB}_{1}}=\frac{1}{2}$，
∴GE∥AB₁，
∴GE∥平面AA₁B₁B；
（2）证明：过点A₁作A₁O⊥AB，垂足为O，连接OC，
∵侧面AA₁B₁B⊥底面ABC，∴A₁O⊥底面ABC，∴∠A₁AB=60°，
∵AA₁=2，∴AO=1，
∵AB=2，∴点O是AB 的中点，
又∵点G是正三角形ABC的重心∴点G在OC上，∴OC⊥AB，
∵A₁O⊥底面ABC，∴A₁O⊥OB，A₁O⊥OC，以O为原点，
分别以OC，OB，OA为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系O-xyz，

由题意可得：A（0，-1，0），B（0，1，0），C（$\sqrt{3}$，0，0），A₁（0，0，$\sqrt{3}$），B₁（0，2，$\sqrt{3}$），C₁（$\sqrt{3}，1，\sqrt{3}$），$则G（\frac{\sqrt{3}}{3}，0，0）$，
∴$\overrightarrow{BE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{B{C}_{1}}=（\frac{\sqrt{3}}{3}，0，\frac{\sqrt{3}}{3}）$，∴$E（\frac{\sqrt{3}}{3}，1，\frac{\sqrt{3}}{3}）$，
∴$\overrightarrow{GE}=（0，1，\frac{\sqrt{3}}{3}），\overrightarrow{{B}_{1}E}=（\frac{\sqrt{3}}{3}，-1，-\frac{2\sqrt{3}}{3}）$，
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面B₁GE的一个法向量，则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{GE}\\ \overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{{B}_{1}E}\end{array}\right.∴\left\{\begin{array}{l}y+\frac{\sqrt{3}}{3}z=0\\ \frac{\sqrt{3}}{3}x-y-\frac{2\sqrt{3}}{3}z=0\end{array}$
令z=$\sqrt{3}$，则x=$\sqrt{3}$，y=-1，∴$\overrightarrow{n}=（\sqrt{3}，-1，\sqrt{3}）$，
由（1）知$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{O{A}_{1}}=（0，0，\sqrt{3}）$是平面ABC的一个法向量，
设平面B₁GE与底面ABC所成锐二面角为θ，
则有：cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{m}\right|•\left|\overrightarrow{n}\right|}=\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理以及二面角的平面角的求法，考查空间想象能力逻辑推理能力以及计算能力．