Question

【题目】在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为.

（1）求圆C的直角坐标方程及直线的斜率；

（2）直线与圆C交于M，N两点，中点为Q，求Q点轨迹的直角坐标方程.

Answer 1

【答案】（1）圆C的直角坐标方程为，直线的斜率为（2）Q点的轨迹方程为，

【解析】

（1）直接利用转换关系式，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；

（2）利用中点的坐标公式化简得，进而可得，再求得的范围即可得到结论.

（1）由得，

即圆C的直角坐标方程为.

由直线的参数方程可得，故直线的斜率为1.

（2）设，，中点，将M，N代入圆方程得：

①，

②，

①-②得：，

化简得

因为直线的斜率为1，所以上式可化为，

代入圆的方程，解得，

所以Q点的轨迹方程为，.