题目内容
【题目】在直角坐标系中,直线
的参数方程为
(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为
.
(1)求圆C的直角坐标方程及直线的斜率;
(2)直线与圆C交于M,N两点,
中点为Q,求Q点轨迹的直角坐标方程.
【答案】(1)圆C的直角坐标方程为,直线
的斜率为
(2)Q点的轨迹方程为
,
【解析】
(1)直接利用转换关系式,把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换;
(2)利用中点的坐标公式化简得,进而可得
,再求得
的范围即可得到结论.
(1)由得
,
即圆C的直角坐标方程为.
由直线的参数方程可得
,故直线
的斜率为1.
(2)设,
,中点
,将M,N代入圆方程得:
①,
②,
①-②得:,
化简得
因为直线的斜率为1,所以上式可化为
,
代入圆的方程,解得
,
所以Q点的轨迹方程为,
.
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