Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$=（-1，2），$\overrightarrow{b}$=（2，3），若$\overrightarrow{m}$=λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是λ＜9，且λ≠-1．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{m}$=λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角为钝角，可得$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$＜0，且不能反向共线，利用数量积运算性质、向量共线定理即可得出．

解答 解：$\overrightarrow{m}$=λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（2-λ，2λ+3），$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（-3，-1），
∵$\overrightarrow{m}$=λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{n}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$的夹角为钝角，
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$＜0，且不能反向共线，
由$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=-3（2-λ）-（2λ+3）＜0，
解得λ＜9．
由-3（2λ+3）+（2-λ）=0，解得λ=-1．
∴实数λ的取值范围是λ＜9．且λ≠-1．
故答案为：λ＜9，且λ≠-1．

点评 本题考查了数量积运算性质、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．