Question

3．抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线$\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则△ABF的面积为12$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出p，即可求出△ABF的面积．

解答 解：抛物线的焦点坐标为（0，$\frac{p}{2}$），准线方程为：y=-$\frac{p}{2}$，
准线方程与双曲线联立可得：$\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{（-\frac{p}{2}）^{2}}{3}$=1，
解得x=±$\sqrt{3+\frac{{p}^{2}}{4}}$，
因为△ABF为等边三角形，所以$\sqrt{{p}^{2}+{x}^{2}}=2|x|$，即p²=3x²，
即${p}^{2}=3（3+\frac{{p}^{2}}{4}）$，解得p=6．
所以x²=12，
所以△ABF的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}•4{x}^{2}$=12$\sqrt{3}$．
故答案为：12$\sqrt{3}$．

点评 本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．