题目内容
【题目】在△ABC中,角A,B,C的对边为a,b,c,角A,B,C的大小成等差数列,向量 =(sin ,cos ),=(cos ,﹣ cos ),f(A)= ,
(1)若f(A)=﹣ ,试判断三角形ABC的形状;
(2)若b= ,a= ,求边c及S△ABC .
【答案】
(1)解:∵A,B,C成等差数列,可得:2B=A+C,
又∵A+B+C=180°,
∴B=60°.
∵向量 =(sin ,cos ), =(cos ,﹣ cos ),f(A)= =﹣ ,
∴f(A)= =sin cos ﹣ cos cos = sinA﹣ cosA﹣ =sin(A﹣60°)﹣ =﹣ ,
∴可得:sin(A﹣60°)=0.
∵A∈(0,60°],可得:A﹣60°∈(﹣60°,0],
∴可得:A=60°,即A=B=C=60°.
∴三角形ABC的形状为:正三角形
(2)解:∵B=60°,b= ,a= ,
∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB,可得:3=2+c2﹣2× ,整理可得:c2﹣ ﹣1=0,
∴解得:c= ,或 (舍去),
∴S△ABC= acsinB= × =
【解析】(1)利用已知及等差数列的性质,三角形内角和定理可求B=60°,利用数量积的运算及三角函数恒等变换的应用可求sin(A﹣60°)=0,结合A的范围可求A=60°,即可得解.(2)利用已知及余弦定理可求c,进而利用三角形面积公式即可计算得解.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用余弦定理的定义的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握余弦定理:;;.
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