Question

【题目】对于函数f（x）=ax2+2x﹣2a，若方程f（x）=0有相异的两根x1 ， x2
（1）若a＞0，且x1＜1＜x2 ， 求a的取值范围；
（2）若x1﹣1，x2﹣1同号，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=ax2+2x﹣2a，若方程f（x）=0有相异的两根x1，x2；

当a＞0时，二次函数f（x）的图象开口向上，且x1＜1＜x2，

∴f（1）=a+2﹣2a＜0，

解得a＞2，

∴a的取值范围是a＞2

（2）解：若x1﹣1，x2﹣1同号，则（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，

∴x1x2﹣（x1+x2）+1＞0；

又x1x2=﹣2，x1+x2=﹣ ，

∴﹣2﹣（ ）+1＞0，

解得0＜a＜2；

又△=4﹣4a×（﹣2a）＞0，

解得a∈R；

综上，实数a的取值范围是0＜a＜2

【解析】（1）a＞0时，根据二次函数f（x）的图象与性质，得出f（1）＜0，求出a的取值范围即可；（2）根据x1﹣1，x2﹣1同号得出（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，利用根与系数的关系列出不等式，从而求出a的取值范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用解一元二次不等式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求一元二次不等式解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数;二判：判断对应方程的根;三求：求对应方程的根;四画：画出对应函数的图象;五解集：根据图象写出不等式的解集;规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边．