题目内容
如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为蓌形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分别是BC,PC的中点。
(Ⅰ)求证:AE⊥PD;
(Ⅱ)若直线PB与平面PAD所成角的正弦值为,求二面角E-AF-C的余弦值.
【解析】(Ⅰ)要证AE⊥PD ,先证AE⊥平面PAD,需要证明PA⊥AE,转化为证PA⊥平面ABCD;(Ⅱ)建立坐标系计算二面角E-AF-C的余弦值.
【答案】
(Ⅰ)证明:由四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,可得△ABC为正三角形.
因为E为BC的中点,所以AE⊥BC.又BC∥AD,因此AE⊥AD.
因为PA⊥平面ABCD,AE平面ABCD,所以PA⊥AE.
而PA平面PAD,AD
平面PAD 且PA∩AD=A,
所以 AE⊥平面PAD,又PD平面PAD.所以 AE⊥PD.……6分
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知AE,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,
设AB=2,AP=a,则A(0,0,0),B(,-1,0),C(
,1,0),D(0,2,0),P(0,0,a),E(
,0,0),F(
),
所以?=(
,-1,-a),且?
=(
,0,0)为平面PAD的法向量,设直线PB与平面PAD所成的角为θ,
由sinθ=|cos<?,?
>|=
=
=
……8分
解得a=2 所以?=(
,0,0),?
=(
,
,1)
设平面AEF的一法向量为m=(x1,y1,z1),则,因此
取z1=-1,则m=(0,2,-1),……10分 因为BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A,所以BD⊥平面AFC,故
为平面AFC的一法向量.又
=(-
,3,0),
所以cos<m,>=
.
因为二面角E-AF-C为锐角,所以所求二面角的余弦值为.

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