题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)．
（1）若椭圆的长轴长为4，离心率为
3
2
，求椭圆的标准方程；
（2）在（1）的条件下，设过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围．
（1）由题意，2a=4，e=
c
a
=
3
2
，∴a=2，c=
3

∴b=
a2-c2
=1
∴椭圆C的标准方程为
x2
4
+y2=1；
（2）显然直线x=0不满足条件，可设直线l：y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2）
直线代入椭圆方程，消去y可得（1+4k2）x2+16kx+12=0
∵△=（16k）2-4×12×（1+4k2）＞0，∴k＜-
3
2
或k＞
3
2

x1+x2=-
16k
1+4k2
，x1x2=
12
1+4k2

∴y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=
4-4k2
1+4k2

由于∠AOB为锐角，x1x2+y1y2＞0，∴
12
1+4k2
+
4-4k2
1+4k2
＞0
∴2＜k＜2
∴直线L的斜率的取值范围是（-2，-
3
2
）∪（
3
2
，2）
练习册系列答案
相关题目
已知双曲线的中心在原点O，其中一条准线方程为x=
3
2
，且与椭圆
x2
25
+
y2
13
=1有共同的焦点．
（1）求此双曲线的标准方程；
（2）（普通中学学生做）设直线L：y=kx+3与双曲线交于A、B两点，试问：是否存在实数k，使得以弦AB为直径的圆过点O？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
（重点中学学生做）设直线L：y=kx+3与双曲线交于A、B两点，C是直线L1：y=mx+6上任一点（A、B、C三点不共线）试问：是否存在实数k，使得△ABC是以AB为底边的等腰三角形？若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由．
抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线x+y-1=0与抛物线相交于A、B两点，且|AB|=
8
6
11
．
（1）求抛物线的方程；
（2）在x轴上是否存在一点C，使△ABC为正三角形？若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上的点P到左右两焦点F1，F2的距离之和为2
2
，离心率为
2
2
．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过右焦点F2的直线l交椭圆于A、B两点，若y轴上一点M(0，
3
7
)满足|MA|=|MB|，求直线l的斜率k的值．
已知椭圆C：
x2
2
+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，下顶点为A，点P是椭圆上任一点，⊙M是以PF2为直径的圆．
（Ⅰ）当⊙M的面积为
π
8
时，求PA所在直线的方程；
（Ⅱ）当⊙M与直线AF1相切时，求⊙M的方程；
（Ⅲ）求证：⊙M总与某个定圆相切．
已知复数z满足|z-2|=1，复数z所对应的点的轨迹是C，若虚数满足u+
1
u
∈R，求|u|的值，并判断虚数u所对应的点与C的位置关系．
已知圆C1：x2+y2=
4
5
，直线l：y=x+m（m＞0）与圆C1相切，且交椭圆C2：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)于A1，B1两点，c是椭圆C2的半焦距，c=
3
b．
（1）求m的值；
（2）O为坐标原点，若
OA1
⊥
OB1
，求椭圆C2的方程；
（3）在（2）的条件下，设椭圆C2的左、右顶点分别为A，B，动点S（x1，y1）∈C2（y1＞0）直线AS，BS与直线x=
34
15
分别交于M，N两点，求线段MN的长度的最小值．
已知抛物线Σ1：y=
1
4
x2的焦点F在椭圆Σ2：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上，直线l与抛物线Σ1相切于点P（2，1），并经过椭圆Σ2的焦点F2．
（1）求椭圆Σ2的方程；
（2）设椭圆Σ2的另一个焦点为F1，试判断直线FF1与l的位置关系．若相交，求出交点坐标；若平行，求两直线之间的距离．
Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，若BD∶AD＝3∶2，则△ACD与△CBD的相似比为(　　)
A．2∶3 B．3∶2C．9∶4D．∶3

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