题目内容
【题目】如图所示,E是正方形ABCD所在平面外一点,E在面ABCD上的正投影F恰在AC上,FG∥BC,AB=AE=2,∠EAB=60°,有以下四个命题:
(1)CD⊥面GEF;
(2)AG=1;
(3)以AC,AE作为邻边的平行四边形面积是8;
(4)∠EAD=60°.
其中正确命题的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】C
【解析】解:连结EG,(1)∵EF⊥平面ABCD,AB平面ABCD,
∴EF⊥AB,
∵FG∥BC,BC⊥AB,
∴AB⊥FG,
又EF平面EFG,FG平面EFG,EF∩FG=F,
∴AB⊥平面EFG,∵AB∥CD,
∴CD⊥平面EFG.故(1)正确.(2)∵AB⊥平面EFG,
∴AB⊥EG,∵∠EAB=60°,AE=2,
∴AG= AE=1,故(2)正确.(3)∵AG=1=
,∴F为AC的中点.
∵AE=2,AC= =2
,AF=
=
,
∴EF= =
.
∴S△ACE= =
=2,
∴以AC,AE作为邻边的平行四边形面积为2S△ACE=4,故(3)错误;(4)过F作FM⊥AD于M,则AM=1,
由(1)的证明可知AD⊥平面EFM,故而AD⊥EM,
∴Rt△EAG≌Rt△EAM,
∴∠EAM=∠EAG=60°,故(4)正确.
故选:C
【考点精析】利用平面与平面垂直的判定对题目进行判断即可得到答案,需要熟知一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
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