题目内容
【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若直线为曲线
的切线,求证:直线
与曲线
不可能有2个切点.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.
【解析】
(1)首先确定函数定义域和导函数;令,得到
;当
时,
,得到函数单调递增;当
时,分为两根都小于零和都大于零两种情况,根据导函数的符号得到原函数的单调区间;(2)采用反证法,假设可能有
个切点;分别列出在两个切点的切线方程,根据方程相同可建立方程组,整理可得
;令
,构造函数
,可利用导数求得
,等式不成立,从而得到假设错误,证得结论.
(1)由题意得:定义域为
,
令,则
若,则
,则
,
函数
在
上单调递增;
若或
,
有两个零点
,
,则
其中,
;
若,则
,
,此时
故函数在
上单调递增;
若,则
,
此时当和
时,
,当
时,
函数
在
和
上单调递增,在
上单调递减
综上所述:当时,函数
的单调递增区间为
;
当时,
单调递增区间为
,
;单调递减区间为
(2)假设存在一条直线与函数的图象有两个不同切点
,
不妨令
则处切线
的方程为:
处切线
的方程为:
为同一直线
即,整理得:
消去得:
…①
令,由
与
得:
记,则
为
上的单调减函数
从而①式不可能成立,即假设不成立
若直线
为曲线
的切线,则直线
与曲线
不可能有
个切点
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】随着国内电商的不断发展,快递业也进入了高速发展时期,按照国务院的发展战略布局,以及国家邮政管理总局对快递业的宏观调控,SF快递收取快递费的标准是:重量不超过1kg的包裹收费10元;重量超过1kg的包裹,在收费10元的基础上,每超过1kg(不足1kg,按1kg计算)需再收5元.某县SF分代办点将最近承揽的100件包裹的重量统计如下:
重量(单位:kg) | (0,1] | (1,2] | (2,3] | (3,4] | (4,5] |
件数 | 43 | 30 | 15 | 8 | 4 |
对近60天,每天揽件数量统计如下表:
件数范围 | 0~100 | 101~200 | 201~300 | 301~400 | 401~500 |
件数 | 50 | 150 | 250 | 350 | 450 |
天数 | 6 | 6 | 30 | 1 | 6 |
以上数据已做近似处理,将频率视为概率.
(1)计算该代办未来5天内不少于2天揽件数在101~300之间的概率;
(2)①估计该代办点对每件包裹收取的快递费的平均值;
②根据以往的经验,该代办点将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润,其余的用作其他费用.目前该代办点前台有工作人员3人,每人每天揽件不超过150件,日工资110元.代办点正在考虑是否将前台工作人员裁减1人,试计算裁员前后代办点每日利润的数学期望,若你是决策者,是否裁减工作人员1人?