题目内容
【题目】
在四棱锥中,底面
是正方形,侧棱
底面
,
,点
是
的中点,作
交
于
.
(Ⅰ)求证:平面
;
(Ⅱ)求证:平面
;
(Ⅲ)求二面角的大小.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ).
【解析】
(Ⅰ)连接,与
交于
,连接
,由中位线可得
,根据线面平行的判定定理可证得
平面
;
(Ⅱ)由底面
可证得
,又因为
是正方形,根据线面垂直判定定理可证得
平面
,从而可得
,根据等腰三角形中线即为高线可得
,根据线面垂直判定定理可证得
平面
,从而可得
,又
,可得
平面
;
(Ⅲ)以点为坐标原点建立空间直角坐标系.,设
,可得各点的坐标,从而可得各向量坐标,根据向量垂直数量积为0,可得面
和面
的法向量.根据数量积公式可得两法向量夹角的余弦值,可得两法向量夹角,两法向量夹角与二面角相等或互补,由观察可知所求二面角为锐角.
解:(Ⅰ)连接,与
交于
,连接
∵是正方形,∴则
为
的中点
∵是
的中点,
∴
∵平面
,
平面
∴平面
(Ⅱ)∵底面
,
平面
∴
∵,
∴平面
∵平面
,
∴
∵是
的中点,
∴
∵
∴平面
而平面
,
∴
又,
∴平面
(Ⅲ)如图建立空间直角坐标系,点为坐标原点,设
.
则.
设平面的法向量是
,则
,
所以,
,即
设平面的法向量是
,则
所以,
,即
.
∴,即面角
的大小为
.
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