题目内容
20．
如图所示，已知O是△ABC所在平面内一点，且满足$\overrightarrow{OA}$2+$\overrightarrow{BC}$2=$\overrightarrow{OB}$2+$\overrightarrow{CA}$2=$\overrightarrow{OC}$2+$\overrightarrow{AB}$2，求证：$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{BC}$⊥$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{CA}$⊥$\overrightarrow{OB}$．
分析 利用向量的减法，化简，即可证明结论．
解答 证明：∵$\overrightarrow{OA}$2+$\overrightarrow{BC}$2=$\overrightarrow{OB}$2+$\overrightarrow{CA}$2，
∴$\overrightarrow{OA}$2+（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OB}$）2=$\overrightarrow{OB}$2+（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$）2，
∴$\overrightarrow{OA}$2+$\overrightarrow{OC}$2-2$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OB}$2=$\overrightarrow{OB}$2+$\overrightarrow{OC}$2-2$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OA}$2，
∴$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{AB}$=0，
∴$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{OC}$，
同理可证明$\overrightarrow{BC}$⊥$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{CA}$⊥$\overrightarrow{OB}$．
点评 本题考查向量在几何中的应用，考查学生的计算能力，正确运用向量的减法是关键．
练习册系列答案
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10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为底面ABCD上的动点．若三棱锥B-D1EC的表面积最大，则E点位于（ ）
| A． | 点A处 | B． | 线段AD的中点处 | C． | 线段AB的中点处 | D． | 点D处 |
在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=λ$\overrightarrow{{A}_{1}A}$，$\overrightarrow{{C}_{1}F}$=$μ\overrightarrow{{C}_{1}C}$（0＜λ，μ＜1）
如图，点P是正方形ABCD所在平面外一点，M为PD的中点．