题目内容
11．
在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线BD1的一个平面交AA1于E，交CC1于F，$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=λ$\overrightarrow{{A}_{1}A}$，$\overrightarrow{{C}_{1}F}$=$μ\overrightarrow{{C}_{1}C}$（0＜λ，μ＜1）①对任意的0＜λ＜1，四边BFD1E都是平行四边形
②当λ=μ=$\frac{1}{2}$时，四边形BFD1E是正方形
③当λ=μ=$\frac{1}{2}$时，四边形BFD1E⊥平面BB1D1D
④λ+μ=1恒成立
⑤对任意的λ，μ四边形BFD1E与平面ABCD所称的二面角为定值
以上结论正确的为①③④．
分析 根据在一个平面内不相交的直线平行，相似三角形对应边的大小关系，正方体内边和对角线的关系，线面垂直的判定定理，如何用向量的夹角计算二面角的平面角的大小即可判断每个结论的正误．
解答 解：①显然ED1和BF没有公共点，且在一个平面内；
∴ED1∥BF；
同理BE∥FD1；
∴对任意的0＜λ＜1，四边BFD1E都是平行四边形，∴①正确；
②设该正方体的边长为2，当$λ=μ=\frac{1}{2}$时，可求出EB=ED1=$\sqrt{5}$，且$B{{D}_{1}}^{2}=12≠B{E}^{2}+E{{D}_{1}}^{2}=10$；
∴四边形BFD1E不是正方形，∴②错误；
③如图，连接EF，A1C1：
则，EF∥A1C1，BB1⊥A1C1，∴EF⊥BB1；
由②知四边形BFD1E为菱形，所以EF⊥BD1，BD1∩BB1=B；
∴EF⊥平面BB1D1D，EF?平面BFD1E；
∴平面BFD1E⊥平面BB1D1D，∴③正确；
④根据图形看出△A1D1E≌△CBF；
∴A1E=CF；
∴$λ+μ=\frac{|\overrightarrow{{A}_{1}E}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}A}|}+\frac{|\overrightarrow{{C}_{1}F}|}{|\overrightarrow{{C}_{1}C}|}=\frac{|\overrightarrow{FC}|+|\overrightarrow{{C}_{1}F}|}{|\overrightarrow{{A}_{1}A}|}=1$，∴④正确；
⑤由图形看出平面BFD1E与平面ABCD的交线与EF，AC平行；
连接BD，则BD⊥AC，过D1，作D1O⊥EF，则：
向量$\overrightarrow{{D}_{1}O}$和向量$\overrightarrow{DB}$的夹角便等于这两平面所成二面角的大小；
显然，向量$\overrightarrow{DB}$不变，而$\overrightarrow{{D}_{1}O}$会随着λ，μ的改变而改变；
∴平面BFD1E与平面ABCD所成二面角的平面角不是定值，∴⑤错误．
∴结论正确的为①③④．
故答案为：①③④．
点评 考查平行线的定义，正方体相对平面的位置关系，平行四边形的判断，直角三角形边的关系，菱形的概念，以及正方形的概念，相似三角形对应边的关系，数乘的几何意义，能够用向量的夹角度量两个平面所成平面的大小．
如图所示，已知O是△ABC所在平面内一点，且满足$\overrightarrow{OA}$2+$\overrightarrow{BC}$2=$\overrightarrow{OB}$2+$\overrightarrow{CA}$2=$\overrightarrow{OC}$2+$\overrightarrow{AB}$2，求证：$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{BC}$⊥$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{CA}$⊥$\overrightarrow{OB}$．