题目内容

6.已知sinα=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$,cos(β-α)=$\frac{13}{14}$,且0<α<β<$\frac{π}{2}$.
(1)求tan2α值;
(2)求cosβ值.

分析 (1)根据题意求得tanα的值,进而利用正切的二倍角公式求得答案.
(2)求得cosα和sin(β-α)的值,进而利用两角和与差的余弦函数公式求得答案.

解答 解:(1)∵0<α<β<$\frac{π}{2}$,
∴0<β-α$<\frac{π}{2}$,
∴tanα=4$\sqrt{3}$,tan(β-α)=$\frac{3\sqrt{3}}{13}$,
∴tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{8\sqrt{3}}{1-48}$=-$\frac{8\sqrt{3}}{47}$.
(2)由(1)可知cosα=$\frac{1}{7}$,sin(β-α)=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$
cosβ=cos(α+β-α)=cosαcos(β-α)-sinαsin(β-α)=$\frac{1}{7}$×$\frac{13}{14}$-$\frac{4\sqrt{3}}{7}$×$\frac{3\sqrt{3}}{14}$=-$\frac{23}{98}$.

点评 本题主要考查了两角和与差的正切函数,同角三角函数基本关系的应用.考查了学生对基础公式的熟练应用.

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