Question

【题目】已知函数f（x）=ln（x+1）+ax2 ， a＞0．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）在区间（﹣1，0）有唯一零点x0 ， 证明： ．

Answer 1

【答案】
（1）解： ，x＞﹣1，

令g（x）=2ax2+2ax+1，△=4a2﹣8a=4a（a﹣2），

若△＜0，即0＜a＜2，则g（x）＞0，

当x∈（﹣1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，

若△=0，即a=2，则g（x）≥0，仅当 时，等号成立，

当x∈（﹣1，+∞）时，f'（x）≥0，f（x）单调递增．

若△＞0，即a＞2，则g（x）有两个零点 ， ，

由g（﹣1）=g（0）=1＞0， 得 ，

当x∈（﹣1，x1）时，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）单调递增；

当x∈（x1，x2）时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）单调递减；

当x∈（x2，+∞）时，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）单调递增．

综上所述，

当0＜a≤2时，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；

当a＞2时，f（x）在 和 上单调递增，

在 上单调递减．

（2）解：由（1）及f（0）=0可知：仅当极大值等于零，即f（x1）=0时，符合要求．

此时，x1就是函数f（x）在区间（﹣1，0）的唯一零点x0．

所以 ，从而有 ，

又因为 ，所以 ，

令x0+1=t，则 ，

设 ，则 ，

再由（1）知： ，h'（t）＜0，h（t）单调递减，

又因为 ， ，

所以e﹣2＜t＜e﹣1，即 ．

【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间；（2）求出 ，得到 ，令x0+1=t，则 ，设 ，根据函数的单调性证明即可．