Question

10．已知向量$\overrightarrow{p}$=（cosα-5，-sinα），$\overrightarrow{q}$=（sinα-5，cosα），$\overrightarrow{p}$∥$\overrightarrow{q}$，且α∈（0，π），求tan2α的值．

Answer 1

分析 根据向量平行的坐标公式建立方程关系求出sinα，cosα，tanα的值，利用正切函数的倍角公式进行求解即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{p}$∥$\overrightarrow{q}$，
∴（cosα-5）cosα+sinα（sinα-5）=0，
即cos²α+sin²α-5（sinα+cosα）=0，
即5（sinα+cosα）=1，
即sinα+cosα=$\frac{1}{5}$，
平方得2sinαcosα=$-\frac{24}{25}$＜0，
∴α∈（$\frac{π}{2}$，π），
∵sin²α+cos²α=1，
∴解得sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=$-\frac{3}{5}$，
则tanα=$-\frac{4}{3}$，tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=$\frac{24}{7}$．

点评 本题主要考查向量和三角函数的综合，利用斜率平行以及三角函数的倍角公式是解决本题的关键．