题目内容
如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1中点.(Ⅰ)求证:AB1⊥平面A1BD;
(Ⅱ)求二面角A-A1D-B的正弦值.

【答案】分析:(Ⅰ)取BC中点O,连接AO,取B1C1中点O1,以0为原点,OB,OO1 ,OA 的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系,用坐标表示向量
,
,
,验证
=0,
,即可证明AB1⊥平面A1BD;
(Ⅱ)求出平面A1BD的法向量为
,平面A1AD的法向量为
,再利用向量的夹角公式,即可求得二面角A-A1D-B的正弦值.
解答:解:取BC中点O,连接AO.
∵△ABC为正三角形,∴AO⊥BC、
∵正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,
∴AO⊥平面BCC1B1,
取B1C1中点O1,以0为原点,OB,OO1 ,OA 的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系
则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,3 ),A(0,0,3 ),B1(1,2,0),
(Ⅰ)
,
,
=-1+4-3=0,
∴AB1⊥BD,AB1 ⊥BA1 ,
∴AB1⊥平面A1BD;
(Ⅱ)平面A1BD的法向量为
设平面A1AD的法向量为
=(x,y,z),∴
,∴
令z=1、y=0、x=-
,则
∴cos
设二面角A-A1D-B的平面角为θ,即
∴
即二面角A-A1D-B的正弦值为
.
点评:本题考查直线与平面垂直的判定,二面角的求法,考查空间想象能力,逻辑思维能力,计算能力,是中档题.





(Ⅱ)求出平面A1BD的法向量为


解答:解:取BC中点O,连接AO.
∵△ABC为正三角形,∴AO⊥BC、
∵正三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC⊥平面BCC1B1,
∴AO⊥平面BCC1B1,
取B1C1中点O1,以0为原点,OB,OO1 ,OA 的方向为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系
则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,3 ),A(0,0,3 ),B1(1,2,0),

(Ⅰ)





∴AB1⊥BD,AB1 ⊥BA1 ,
∴AB1⊥平面A1BD;
(Ⅱ)平面A1BD的法向量为

设平面A1AD的法向量为



令z=1、y=0、x=-


∴cos

设二面角A-A1D-B的平面角为θ,即

∴

即二面角A-A1D-B的正弦值为

点评:本题考查直线与平面垂直的判定,二面角的求法,考查空间想象能力,逻辑思维能力,计算能力,是中档题.

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