题目内容
【题目】已知函数f（x）=a（lnx
2）
1在定义域（0，2）内有两个极值点.
（1）求实数a的取值范围；
（2）设x1和x2是f（x）的两个极值点，求证：lnx1+lnx2+lna
0.
【答案】（1）
；（2）证明见解析.
【解析】
（1）对函数进行求导可得
，记g（x）=ex﹣1﹣ax，通过分类讨论得到函数单调性，分
和
两种情况进行讨论，即可得解；
（2）根据题意，将证明lnx1+lnx2+lna
0，转化为证x1+x22+lna，即证x11﹣lnx2，结合（1）问转化成h（x）=lnx+e1﹣x
，求导利用单调性即可证明.
（1）函数f（x）的定义域为（0，2），，记g（x）=ex﹣1﹣ax，则g′（x）=ex﹣1﹣a，
①当时，g′（x）0，
故g（x）在（0，2）上单增，则g（x）至多有一个零点，不合题意；
②当时，令g′（x）=0得x=1+lna，
（i）当1+lna<2且g（2）0，即
时，
g（x）在（0，1+lna）上单减，在（1+lna，2）上单增，
此时需g（x）min=g（1+lna）=﹣alna<0，解得a1，
注意到g（0）0，
故由零点存在性定理可知，g（x）在（0，1+lna）及（1+lna，2）上各有一个零点；
（ii）当1+lna
2，即ae时，g（x）在（0，2）上单减，则g（x）至多有一个零点，不合题意；
综上，实数a的取值范围为；
（2）证明：不妨设0<x1<1+lna<x2<2，
由题意得，
，两边同时取自然对数得
，
要证lnx1+lnx2+lna0，只需证x1+x22+lna，即证x11﹣lnx2，
由上题可知，g（x）在（0，1+lna）上单减，则证明g（1﹣lnx2）g（x1）=0即可，
有
，化简后即证明
即可，
构造函数h（x）=lnx+e1﹣x，x∈（1+lna，2），则
，注意到不等式ex﹣1x（x0），
则h′（x）0在（1+lna，2）恒成立，
即h（xh（1+lna）h（1）=1，故求证成立.
开心蛙口算题卡系列答案
【题目】“未来肯定是非接触的，无感支付的方式将成为主流，这有助于降低交互门槛”.云从科技联合创始人姚志强告诉南方日报记者.相对于主流支付方式二维码支付，刷脸支付更加便利，以前出门一部手机解决所有，而现在连手机都不需要了，毕竟，手机支付还需要携带手机，打开二维码也需要时间和手机信号.刷脸支付将会替代手机，成为新的支付方式.某地从大型超市门口随机抽取50名顾客进行了调查，得到了如下列联表：
男性 | 女性 | 总计 | |
刷脸支付 | 18 | 25 | |
非刷脸支付 | 13 | ||
总计 | 50 |
（1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为使用刷脸支付与性别有关？
（2）从参加调查且使用刷脸支付的顾客中随机抽取2人参加抽奖活动，抽奖活动规则如下：
“一等奖”中奖概率为0.25，奖品为10元购物券
张（
，且
），“二等奖”中奖概率0.25，奖品为10元购物券两张，“三等奖”中奖概率0.5，奖品为10元购物券一张，每位顾客是否中奖相互独立，记参与抽奖的两位顾客中奖购物券金额总和为
元，若要使的均值不低于50元，求的最小值.
附：
，其中
.
| 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.005 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.869 |
