Question

15．设Q是曲线T：xy=2（x＞0）上任意一点，l是曲线T在点Q处的切线，且l交坐标轴于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为4．

Answer 1

分析 设Q（x₀，y₀）为曲线T：y=$\frac{2}{x}$（x＞0）上任一点，过点Q作曲线C的切线l，利用导数可求得切线l的斜率及方程，从而可求得l与两坐标轴交于A，B两点的坐标，继而可求△OAB的面积．

解答 解：设Q（x₀，y₀）为曲线T：y=$\frac{2}{x}$（x＞0）上任一点，则y₀=$\frac{2}{{x}_{0}}$．
设过曲线C：y=$\frac{2}{x}$上一点Q的切线l的斜率为k，
∵y′=-$\frac{2}{{x}^{2}}$，∴k=-$\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}$，
∴切线l的方程为：y-y₀=-$\frac{2}{{{x}_{0}}^{2}}$（x-x₀），
∴当x=0时，y=$\frac{2}{{x}_{0}}$+y₀=$\frac{4}{{x}_{0}}$，即B（0，$\frac{4}{{x}_{0}}$）；
当y=0时，x=y₀•x₀²+x₀=2x₀，即A（2x₀，0）；
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$|OA|•|OB|=$\frac{1}{2}$×|2x₀|•|$\frac{4}{{x}_{0}}$|=4．
故答案为：4．

点评 本题考查利用导数求过曲线T：xy=2（x＞0）上一点Q的切线l的斜率，考查直线的方程及截距，考查三角形的面积公式，属于中档题．