Question

7．已知函数f（x）=e^x（-x²+3）
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）当x∈（-1，+∞）时，f（x）+x²e^x+2xe^x≥m（x+1）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，令导函数小于0，解出即可；（2）问题转化为 $m≤{（\frac{{{e^x}（3+2x）}}{x+1}）_{min}}$即可，构造函数，求出其导数，得到函数的单调性，进而求出其最小值．

解答 解：（1）f′（x）=e^x（-x²+3）+e^x（-2x）=-e^x（x²+2x-3）=e^x（x+3）（x-1），
令f′（x）＜0，解得：-3＜x＜1，则减区间为（-3，1）．
（2）由题得 $m≤{（\frac{{{e^x}（3+2x）}}{x+1}）_{min}}$即可，
令$g（x）=\frac{{{e^x}（3+2x）}}{x+1}$，g′（x）=$\frac{{e}^{x}（2x+1）（x+2）}{{（x+1）}^{2}}$，
由导数得g（x）在（-1，-$\frac{1}{2}$）递减；在（-$\frac{1}{2}$，+∞）递增，
∴$g{（x）_{min}}=g（-\frac{1}{2}）=\frac{{4\sqrt{e}}}{e}$，
∴$m≤\frac{{4\sqrt{e}}}{e}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．