Question

6．已知向量$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$sinx，sinx），$\overrightarrow{n}$=（cosx，-sinx），且f（x）=2$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+2．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并求出此时的x的取值；
（Ⅱ）函数f（x）图象与y轴的交点、y轴右侧第一个最低点、与x轴的第二个交点分别记为P，Q，R，求$\overrightarrow{QP}$•$\overrightarrow{QR}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用两个向量的数量积公式、三角恒等变换求出f（x）的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的最大值，以及此时的x的取值．
（Ⅱ）由条件求得P，Q，R的坐标，再利用两个向量的数量积公式求出$\overrightarrow{QP}$•$\overrightarrow{QR}$的值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=2$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$+2=2$\sqrt{3}$sinxcosx，-2sinx•sinx+2=$\sqrt{3}$sin2x+2•$\frac{1+cos2x}{2}$=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
故当2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈z时，即x=kπ+$\frac{π}{6}$（k∈z） 时，f（x）取得最大值为3．
（Ⅱ）由f（0）=2，知P（0，2）．
由2x+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{3π}{2}$，得x=kπ+$\frac{2π}{3}$（k∈z），此时f（x）=-1，则Q（$\frac{2π}{3}$，-1）．
而由2x+$\frac{π}{6}$=2kπ-$\frac{π}{6}$，得x=kπ-$\frac{π}{6}$（k∈z），故R（$\frac{5π}{6}$，0），
从而$\overrightarrow{QP}$=（-$\frac{2π}{3}$，3），$\overrightarrow{QR}$=（$\frac{π}{6}$，1），因此$\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{QR}$=-$\frac{2π}{3}×\frac{π}{6}$+3×1=3-$\frac{{π}^{2}}{9}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，正弦函数的定义域和值域，三角恒等变换，属于中档题．