Question

【题目】已知函数y=x2的图象在点（x0 ， x02）处的切线为l，若l也与函数y=lnx，x∈（0，1）的图象相切，则x0必满足（ ）
A.0＜x0＜
B. ＜x0＜1
C. ＜x0＜
D. ＜x0

Answer 1

【答案】D
【解析】解：函数y=x2的导数为y′=2x， 在点（x0 ， x02）处的切线的斜率为k=2x0 ，
切线方程为y﹣x02=2x0（x﹣x0），
设切线与y=lnx相切的切点为（m，lnm），0＜m＜1，
即有y=lnx的导数为y′= ，
可得2x0= ，切线方程为y﹣lnm= （x﹣m），
令x=0，可得y=lnm﹣1=﹣x02 ，
由0＜m＜1，可得x0＞ ，且x02＞1，
解得x0＞1，
由m= ，可得x02﹣ln（2x0）﹣1=0，
令f（x）=x2﹣ln（2x）﹣1，x＞1，
f′（x）=2x﹣ ＞0，f（x）在x＞1递增，
且f（ ）=2﹣ln2 ﹣1＜0，f（ ）=3﹣ln2 ﹣1＞0，
则有x02﹣ln（2x0）﹣1=0的根x0∈（ ， ）．
故选：D．
求出函数y=x2的导数，y=lnx的导数，求出切线的斜率，切线的方程，可得2x0= ，lnm﹣1=﹣x02 ， 再由零点存在定理，即可得到所求范围．