题目内容

7.过抛物线y2=4x的集点F作斜率为2的直线l,l交抛物线于A、B两点,求以线段AB为直径的圆的方程.

分析 设A,B两点坐标,联立直线与抛物线组成方程组,求得AB的中点坐标,求出AB的长,然后求以AB为直径的圆的方程.

解答 解:由题意,得F(1,0),直线l的方程为y=2x-2.
代入抛物线方程,得x2-3x+1=0,
设A,B两点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M的坐标为M(x0,y0),
因为△=32-4=5>0,所以x1+x2=3,x1x2=1,
所以圆心为M($\frac{3}{2}$,1),
由抛物线定义,得|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=5(其中p=2).
所以以AB为直径的圆的方程为(x-$\frac{3}{2}$)2+(y-1)2=$(\frac{5}{2})^{2}$.

点评 本题考查圆的方程,直线和圆的方程的应用,考查转化思想,函数与方程的思想,是中档题.

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