题目内容

3.已知函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}2{x^3}+3{x^2}+m,0≤x≤1\\ mx+5,x>1.\end{array}$若函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点,则实数m的取值范围是(  )
A.(-1,-2)B.(-2,-3)C.(-2,-4)D.(-5,0)

分析 由分段函数知,分段讨论函数的单调性,从而求导可知f(x)在[0,1]上是增函数,从而化为函数f(x)在[0,1]与(1,+∞)上各有一个零点;从而求实数m的取值范围.

解答 解:当0≤x≤1时,
f(x)=2x3+3x2+m,
f′(x)=6x2+6x=6x(x+1)≥0;
故f(x)在[0,1]上是增函数,
故若使函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点,
则函数f(x)在[0,1]与(1,+∞)上各有一个零点;
故m<0,
故$\left\{\begin{array}{l}{f(0)•f(1)≤0}\\{m+5>0}\end{array}\right.$,
解得,m∈(-5,0);
故选:D.

点评 本题考查了导数的综合应用及分段函数的应用,属于中档题.

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