题目内容
【题目】设命题:实数
满足不等式
,命题
:函数
无极值点.
(1)若“”为假命题,“
”为真命题,求实数
的取值范围;
(2)已知“”为真命题,并记为
,且
:
,若
是
的必要不充分条件,求正整数
的值.
【答案】(1)或
;(2)1.
【解析】
(1)由对数的运算、导函数的应用,可得:
,
:
,再结合复合命题的真假即可得解;
(2)由是
的必要不充分条件,结合(1)可得
,求解即可.
解:(1)因为,
因为,所以
,解得得
,即
:
.
又因为,∵函数
无极值点,∴
恒成立,则
,解得
,即
:
.
∵“”为假命题,“
”为真命题,∴
与
只有一个命题是真命题.
若为真命题,
为假命题,则
,
.
若为真命题,
为假命题,则
.
故实数的取值范围为
或
.
(2)∵“”为真命题,∴
.
又,∴
或
, 从而
:
.
∵是
的必要不充分条件,即
是
的充分不必要条件,
∴,解得
,∵
,∴
,
故正整数的值为
.
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