题目内容
设函数f(x)=
x3-
ax2+(a2-3)x+1
（1）若函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）的单调递减区间为（m，n），且{x|x＜0}∩{m，n}≠∅．求实数a的取值范围．
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（1）若函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）若函数f（x）的单调递减区间为（m，n），且{x|x＜0}∩{m，n}≠∅．求实数a的取值范围．
分析：（1）由题意可得f'（x）=x2-ax+（a2-3）≥0在R上恒成立，故△=a2-4（a2-3）≤0，由此求得实数a的取值范围．
（2）由题意可得f'（x）=0的两根为m，n且m，n中至少有一个负根，故有f'（0）＜0，或
，由此求得实数a的取值范围．
（2）由题意可得f'（x）=0的两根为m，n且m，n中至少有一个负根，故有f'（0）＜0，或
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解答：解：（1）∵f'（x）=x2-ax+（a2-3），函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，
∴f'（x）=x2-ax+（a2-3）≥0在R上恒成立．（3分）
∴△=a2-4（a2-3）≤0，
∴a≤-2或a≥2，即a∈（-∞，-2]∪[2，+∞）．（6分）
（2）∵f（x）的单调递减区间为（m，n），且{x|x＜0}∩{m，n}≠?．
∴f'（x）=0的两根为m，n且m，n中至少有一个负根．（8分）
∴f'（0）＜0，或
，（10分）
∴a∈(-2，
)，即实数a的取值范围为 (-2，
)．（12分）
∴f'（x）=x2-ax+（a2-3）≥0在R上恒成立．（3分）
∴△=a2-4（a2-3）≤0，
∴a≤-2或a≥2，即a∈（-∞，-2]∪[2，+∞）．（6分）
（2）∵f（x）的单调递减区间为（m，n），且{x|x＜0}∩{m，n}≠?．
∴f'（x）=0的两根为m，n且m，n中至少有一个负根．（8分）
∴f'（0）＜0，或
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∴a∈(-2，
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点评：本题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．
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