Question

2．已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1•a_n-2a_n+1=0（n∈N^*）．
（Ⅰ）猜测数列{aⁿ}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论；
（Ⅱ）设n，k为任意两个正整数，用反证法证明：$\frac{1+{a}_{n}}{{a}_{k}}$与$\frac{1+{a}_{k}}{{a}_{n}}$中至少有一个小于2．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先猜想通项公式，利用数学归纳法证明．
（Ⅱ）先假设（Ⅱ）假设$\frac{1+{a}_{n}}{{a}_{n}}≥2$，且$\frac{1+{a}_{k}}{{a}_{n}}≥2$，因为a_n，a_k＞0，利用两式子加和后的式子退出与已知矛盾，得出原命题成立．

解答 解：（Ⅰ）由已知，${a}_{n+1}=\frac{2{a}_{n}-1}{{a}_{n}}=2-\frac{1}{{a}_{n}}$，又a₁=2，则a₂=2-$\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$
a₃=2-$\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$，a₄=2-$\frac{3}{4}=\frac{5}{4}$，由此可猜想：${a}_{n}=\frac{n+1}{n}$
证明：（1）当n=1时，${a}_{1}=2=\frac{1+1}{1}$，所以猜想正确．
（2）假设当n=k（k≥1，k∈Z）时，猜想成立，即${a}_{k}=\frac{k+1}{k}$
则${a}_{k+1}=2-\frac{1}{{a}_{k}}=2-\frac{k}{k+1}=\frac{k+2}{k+1}$=$\frac{（k+1）+1}{k+1}$，即当n=k+1时也成立．
结合（1）（2）可知，数列{a_n}的递推公式是${a}_{n}=\frac{n+1}{n}$
（Ⅱ）假设$\frac{1+{a}_{n}}{{a}_{n}}≥2$，且$\frac{1+{a}_{k}}{{a}_{n}}≥2$，因为a_n，a_k＞0
则1+a_n＞2a_n，且1+a_k＞2a_n，两式相加得，（1+a_n）+（1+a_k）≥2a_n+2a_k，即a_n+a_k≤2
因为${a}_{n}=\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}＞1，{a}_{n}=\frac{k+1}{k}=1+\frac{1}{k}$＞1，则：a_k+a_n＞2，矛盾．
所以假设不成立，即：$\frac{1+{a}_{n}}{{a}_{k}}$与$\frac{1+{a}_{k}}{{a}_{n}}$中至少有一个小于2．

点评 本题主要考查了数学归纳法和反证法在数列题目中的应用，高考经常涉及，属中档题型．