Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

a2-1

=1（a＞1）的左右焦点为F₁，F₂，抛物线C：y2=2px以F₂为焦点且与椭圆相交于点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），点M在x轴上方，直线F₁M与抛物线C相切．
（1）求抛物线C的方程和点M、N的坐标；
（2）设A，B是抛物线C上两动点，如果直线MA，MB与y轴分别交于点P，Q．△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，探究直线AB的斜率是否为定值？若是求出这个定值，若不是说明理由．

Answer 1

（1）由椭圆方程得半焦距c=

a2-(a2-1)

=1．
∴椭圆焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0）．
又抛物线C的焦点为(

p

2

，0)，∴

p

2

=1，解得p=2．∴抛物线C的方程：y²=4x．
∵点M（x₁，y₁）在抛物线C上，
∴

y

21

=4x1，直线F₁M的方程为y=

y1

x1+1

(x+1)．
代入抛物线C得

y

21

(x+1)2=4x(x1+1)2，即4x1(x+1)2=4x(x1+1)2．
∴x1x2-(

x

21

+1)x+x1=0         
∵F₁M与抛物线C相切，∴△=(

x

21

+1)2-4

x

21

=0，∴x₁=1．
∴M、N的坐标分别为（1，2）、（1，-2）．    
（2）直线AB的斜率为定值-1．
证明如下：设A(

y 21

4

，y1)，B(

y 22

4

，y2)．
则kMA=

y1-2

y 21 4 -1

=

4

y1+2

，同理kMB=

4

y2+2

，
∵△MPQ是以MP，MQ为腰的等腰三角形，∴k_MA=-k_MB．
即

4

y1+2

+

4

y2+2

=0，
化为y₁+y₂+4=0得y₁+y₂=-4．
∴k_AB=

y2-y1

y 22 4 - y 21 4

=

4

y1+y2

=

4

-4

=-1．
所以直线AB的斜率为定值-1．