Question

定义在R上的函数f(x)=

ax+6+1x≤0 ax-2-7x＞0

．对任意正实数ξ，有f（x+ξ）＜f（x）成立．当满足不等式-6＜f（x-t）＜2的x的取值范围是-4＜x＜4时，实数t的值为

2

．

Answer 1

分析：对任意正实数ξ，有f（x+ξ）＜f（x）成立，可得函数为R上的单调减函数，利用函数的解析式可得不等式-6＜f（x-t）＜2等价于不等式f（2）＜f（x-t）＜f（-6），从而化抽象不等式为具体不等式，由此可求t的值．

解答：解：∵对任意正实数ξ，有f（x+ξ）＜f（x）成立
∴函数为R上的单调减函数
令a^x-2-7=-6，则x=2；令a^x+6+1=2，则x=-6
∴不等式-6＜f（x-t）＜2等价于不等式f（2）＜f（x-t）＜f（-6）
∵函数为R上的单调减函数
∴2＞x-t＞-6
∴t-6＜x＜t+2
∵不等式-6＜f（x-t）＜2的x的取值范围是-4＜x＜4
∴t=2
故答案为：2

点评：本题考查函数的单调性，考查解不等式，确定函数的单调性是关键．