题目内容
若数列{an}满足an+2+pan+1+qan=0（其中p2+q2≠0，且p、q为常数）对任意n∈N*都成立，则我们把数列{an}称为“L型数列”．（1）试问等差数列{an}、等比数列{bn}（公比为r）是否为L型数列？若是，写出对应p、q的值；若不是，说明理由．
（2）已知L型数列{an}满足an+1+pan+qan-1=0（n≥2，n∈N*，p2-4q＞0，q≠0），x1、x2是方程x2+px+q=0的两根，若b-axi≠0（i=1，2），求证：数列{an+1-xian}（i=1，2，n∈N*）是等比数列（只选其中之一加以证明即可）．
（3）请你提出一个关于L型数列的问题，并加以解决．（本小题将根据所提问题的普适性给予不同的分值，最高10分）
【答案】分析：（1）根据等差数列，等比数列的定义，两种类型的数列都可写成an+2+pan+1+qan=0（其中p2+q2≠0，且p、q为常数）的形式，所以等差数列{an}、等比数列{bn}（公比为r）都是L型数列．
（2）欲证数列{an+1-xian}（i=1，2，n∈N*）是等比数列，只需证明数列的后一项与前一项的比为常数．），根据x1、x2是x2+px+q=0的两实数根，p2-4q＞0，可得an+1-x1an=x2（an-x1an-1），即可判断数列{an+1-x1an}（n∈N*）是以（b-x1a）为首项，公比为x2的等比数列．
（3）此题答案不唯一，只要符合题意就行．例如：已知L型数列{an}满足an+1+an-2an-1=0（n≥2，n∈N*，），且a1=1，a2=2，求数列{an-an-1}的通项公式．利用构造法，把an+1+an=2an-1两边均减2an，即可证明．
解答：解：（1）答：等差数列{an}、等比数列{bn}（n∈N*）都是L型数列．
理由 当数列{an}（n∈N*）是等差数列时，有an+2-an+1=an+1-an，
即an+2-2an+1+an=0，且相应的p=-2，q=1．
所以等差数列{an}（n∈N*）是L型数列．
同样，当数列{bn}（n∈N*）是等比数列时，有bn+2=rbn+1（r为公比），
即bn+2-rbn+1+0•bn=0，且相应的p=-r，q=0．
所以等比数列{bn}（n∈N*）是L型数列．
证（2）∵an+1+pan+qan-1=0（n≥2，n∈N*，q≠0），x1、x2是x2+px+q=0的两实数根，p2-4q＞0，
∴x1≠x2，x1x2≠0，x1+x2=-p，x1•x2=q，an+1-（x1+x2）an+x1x2an-1=0．
∴an+1-x1an=x2an-x1x2an-1=x2（an-x1an-1）．
又b-axi≠0（i=1，2），a1=a，a2=b，
∴数列{an+1-x1an}（n∈N*）是以（b-x1a）为首项，公比为x2的等比数列．
（同理可证，数列{an+1-x2an}（n∈N*）是等比数列）
（3）此题答案不唯一，只要符合题意就行．
例如：已知L型数列{an}满足an+1+an-2an-1=0（n≥2，n∈N*，），且a1=1，a2=2，
求数列{an-an-1}的通项公式．
解答：∵an+1+an-2an-1=0，
∴an+1+an=2an-1，an+1-an=2an-1-2an=-2（an-an-1）
∴
=-2
∴数列{an-an-1}为等比数列，公比为-2，首项为2-1=1
∴数列{an-an-1}的通项公式为an-2an-1=1×（-2）n-1=（-2）n-1
点评：本题主要考查了利用等差，等比数列的通项公式，判断新数列的性质．
（2）欲证数列{an+1-xian}（i=1，2，n∈N*）是等比数列，只需证明数列的后一项与前一项的比为常数．），根据x1、x2是x2+px+q=0的两实数根，p2-4q＞0，可得an+1-x1an=x2（an-x1an-1），即可判断数列{an+1-x1an}（n∈N*）是以（b-x1a）为首项，公比为x2的等比数列．
（3）此题答案不唯一，只要符合题意就行．例如：已知L型数列{an}满足an+1+an-2an-1=0（n≥2，n∈N*，），且a1=1，a2=2，求数列{an-an-1}的通项公式．利用构造法，把an+1+an=2an-1两边均减2an，即可证明．
解答：解：（1）答：等差数列{an}、等比数列{bn}（n∈N*）都是L型数列．
理由 当数列{an}（n∈N*）是等差数列时，有an+2-an+1=an+1-an，
即an+2-2an+1+an=0，且相应的p=-2，q=1．
所以等差数列{an}（n∈N*）是L型数列．
同样，当数列{bn}（n∈N*）是等比数列时，有bn+2=rbn+1（r为公比），
即bn+2-rbn+1+0•bn=0，且相应的p=-r，q=0．
所以等比数列{bn}（n∈N*）是L型数列．
证（2）∵an+1+pan+qan-1=0（n≥2，n∈N*，q≠0），x1、x2是x2+px+q=0的两实数根，p2-4q＞0，
∴x1≠x2，x1x2≠0，x1+x2=-p，x1•x2=q，an+1-（x1+x2）an+x1x2an-1=0．
∴an+1-x1an=x2an-x1x2an-1=x2（an-x1an-1）．
又b-axi≠0（i=1，2），a1=a，a2=b，
∴数列{an+1-x1an}（n∈N*）是以（b-x1a）为首项，公比为x2的等比数列．
（同理可证，数列{an+1-x2an}（n∈N*）是等比数列）
（3）此题答案不唯一，只要符合题意就行．
例如：已知L型数列{an}满足an+1+an-2an-1=0（n≥2，n∈N*，），且a1=1，a2=2，
求数列{an-an-1}的通项公式．
解答：∵an+1+an-2an-1=0，
∴an+1+an=2an-1，an+1-an=2an-1-2an=-2（an-an-1）
∴
=-2∴数列{an-an-1}为等比数列，公比为-2，首项为2-1=1
∴数列{an-an-1}的通项公式为an-2an-1=1×（-2）n-1=（-2）n-1
点评：本题主要考查了利用等差，等比数列的通项公式，判断新数列的性质．
练习册系列答案
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