Question

【题目】已知圆C的圆心C在直线上．

若圆C与y轴的负半轴相切，且该圆截x轴所得的弦长为，求圆C的标准方程；

已知点，圆C的半径为3，且圆心C在第一象限，若圆C上存在点M，使为坐标原点，求圆心C的纵坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

根据圆心在直线上，可设圆心，再根据圆C与y轴负半轴相切得，弦长为列方程可解得，从而可得圆C的标准方程；

根据可得点M的轨迹为圆，记为圆D，再根据圆C和圆D有公共点列式可解得．

解：因为圆C的圆心在直线上，所以可设圆心为

因为圆C与y轴的负半轴相切，所以，半径，

又因为该圆截学轴所得弦的弦长为，

所以，解得，

因此，圆心为，半径

所以圆C的标准方程为

圆C的半径为3，设圆C的圆心为，由题意，

则圆C的方程为

又因为，，设

则，整理得，

它表示以为圆心，2为半径的圆，记为圆D，

由题意可知：点M既在圆C上又在圆D上，即圆C和圆D有公共点．

所以，且

所以，即，解得，

解得

所以圆心C的纵坐标的取值范围时