Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣x（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）在（1，﹣2）处的切线方程；
（2）当a≤0时，分析函数f（x）在其定义域内的单调性；
（3）若函数y=g（x）的图象上存在一点P（x0 ， y0），使得以P为切点的切线m将图象分割为c1 ， c2两部分，且c1 ， c2分别完全位于切线m的两侧（除了P点外），则称点x0为函数y=g（x）的“切割点“．问：函数f（x）是否存在满足上述条件的切割点．

Answer 1

【答案】解：（1）当a=1时，函数f（x）=lnx﹣x2﹣x
的导数为f′（x）=﹣2x﹣1，
则函数f（x）在（1，﹣2）处的切线斜率为1﹣2﹣1=﹣2，
即有函数f（x）在（1，﹣2）处的切线方程为y+2=﹣2（x﹣1），
即为2x+y=0；
（2）函数f（x）=lnx﹣ax2﹣x的导数为f′（x）=﹣2ax﹣1=，（x＞0），
当a=0时，f′（x）=，当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减；
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增．
当a＜0时，令h（x）=﹣2ax2﹣x+1，
当△≤0，即1+8a≤0，a≤﹣时，h（x）≥0恒成立，即有f（x）递增；
当△＞0，即1+8a＞0，a＞﹣时，由h（x）=0可得x=＞0，
当x＞或0＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．
综上可得，当a=0时，f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）；
当a≤﹣时，f（x）的增区间为（0，+∞）；
当﹣＜a＜0时，f（x）的增区间为（0，），（，+∞），
减区间为（，）．
（3）函数f（x）=lnx﹣ax2﹣x的导数为f′（x）=﹣2ax﹣1=，（x＞0），
当a=0时，f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞），f（1）为最大值，且为﹣1＜0，
即f（x）＜0恒成立．则不存在切割点；
当a＞0时，f′（x）=0解得x=（负的舍去），
当0＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）递增，
当x＞时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有f（）取得最大，且为负值，则不存在切割点；
当a＜0时，由（2）得当a≤﹣时，f（x）在x＞0时递增，无最值，则存在切割点；
当﹣＜a＜0时，由于f（x）的增区间为（0，），（，+∞），
减区间为（，），无最值，则存在切割点．
综上可得，当a≥0时，不存在切割点；当a＜0时，存在切割点．
【解析】（1）求出a=1的函数，求出导数，求出切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线方程；
（2）求出导数，对a讨论，a=0，a＜0，运用判别式结合二次方程的求根公式，解不等式即可得到单调区间，注意定义域；
（3）求出导数，对a讨论，a=0，a＞0，由导数得到单调区间，进而得到最大值，即可说明不存在切割点；a＜0，由（2）可得单调区间，说明f（x）无最值，则存在切割点．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．