题目内容
【题目】已知函数,
,
,
为自然对数的底数.
(Ⅰ)若函数在
上存在零点,求实数
的取值范围;
(Ⅱ)若函数在
处的切线方程为
.求证:对任意的
,总有
.
【答案】(Ⅰ).
(Ⅱ)见解析.
【解析】分析:(Ⅰ)首先利用导数判断函数的单调性,然后由此求出函数的最小值,只要最小值小于0即可求出实数的取值范围;(Ⅱ)首先由条件得出
的值确定函数解析式,然后由
得到
,最后构造前后两个函数,验证前一个函数的最小值大于后一个函数的最大值。
详解:(Ⅰ)易得.
若,有
,不合题意;
若,有
,
,满足题设;
若,令
,得
∴在
上单调递减;在
单调递增,
则,∴
.
又满足题设,
综上所述,所求实数.
(Ⅱ)证明:易得,,
则由题意,得,解得
.
∴,从而
,即切点为
.
将切点坐标代入中,解得
. ∴
.
要证,即证
(
,
只需证
).
令,
.
则由,得
,
∴在
上单调递减;在
上单调递增,
∴.
又由,得
∴在
上单调递增;在
上单调递减,
∴.
∴,
显然,上式的等号不能同时取到.
<>故对任意的![](http://thumb.1010pic.com/questionBank/Upload/2019/02/01/10/11ff42ec/SYS201902011002289655661510_DA/SYS201902011002289655661510_DA.031.png)
![](http://thumb.1010pic.com/questionBank/Upload/2019/02/01/10/11ff42ec/SYS201902011002289655661510_DA/SYS201902011002289655661510_DA.030.png)
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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