Question

【题目】已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an= （n∈N*）．若{an}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2 ．
（1）求an和bn；
（2）设cn= （n∈N*）．记数列{cn}的前n项和为Sn ．
（i）求Sn；
（ii）求正整数k，使得对任意n∈N*均有Sk≥Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a1a2a3…an= （n∈N*） ①，

当n≥2，n∈N*时， ②，

由①②知： ，

令n=3，则有 ．

∵b3=6+b2，

∴a3=8．

∵{an}为等比数列，且a1=2，

∴{an}的公比为q，则 =4，

由题意知an＞0，∴q＞0，∴q=2．

∴ （n∈N*）．

又由a1a2a3…an= （n∈N*）得：

，

，

∴bn=n（n+1）（n∈N*）．

（2）解：（i）∵cn= = = ．

∴Sn=c1+c2+c3+…+cn

=

=

=

= ；

（ii）因为c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0；

当n≥5时，

，

而

= ＞0，

得

，

所以，当n≥5时，cn＜0，

综上，对任意n∈N*恒有S4≥Sn，故k=4

【解析】（1）先利用前n项积与前（n﹣1）项积的关系，得到等比数列{an}的第三项的值，结合首项的值，求出通项an ， 然后现利用条件求出通项bn；（2）（i）利用数列特征进行分组求和，一组用等比数列求和公式，另一组用裂项法求和，得出本小题结论；（ii）本小题可以采用猜想的方法，得到结论，再加以证明．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题．