题目内容

下列命题中正确的是(  )
A.y=x+
1
x
的最小值是2
B.y=
x2+3
x2+2
的最小值是2
C.y=
x2+5
x2+4
的最小值是
5
2
D.y=2-3x-
4
x
的最大值是2-4
3
当x>0时,y=x+
1
x
≥2
x•
1
x
=2,其最小值是2;
当x=0时,y=x+
1
x
不存在;
当x<0时,y=x+
1
x
=-(-x-
1
x
)≤-2
(-x)•(-
1
x
)
=-2,其最大值是-2.
故A不成立;
设y=x+
1
x
,则y′=1-
1
x2
,当x>1时,y′>0,
∴y=x+
1
x
在(1,+∞)内是增函数.
∵y=
x2+3
x2+2
=
x2+2
+
1
x2+2
x2+2
2

∴y=
x2+3
x2+2
=
x2+2
+
1
x2+2
2
+
1
2
=
3
2
2

∴y=
x2+3
x2+2
的最小值是
3
2
2
,故B不正确.
∵y=
x2+5
x2+4
=
x2+4
+
1
x2+4
x2+4
≥2

∴y=
x2+5
x2+4
=
x2+4
+
1
x2+4
≥2+
1
2
=
5
2

∴y=
x2+5
x2+4
的最小值是
5
2
,故C正确;
当x>0时,y=2-3x-
4
x
≤2-2
3x•
4
x
=2-4
3
,其最大值是2-4
3

当x=0时,y=2-3x-
4
x
不存在;
x<0时,y=2-3x-
4
x
≥2+2
(-3x)•
4
x
=2+4
3
,其最小值是2+4
3
,故D不成立.
故选C.
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