Question

19．已知数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$是等差数列，且${a_3}=\frac{1}{8}，{a_2}=4{a_7}$
（1）求{a_n}的通项公式
（2）若${b_n}={a_n}{a_{n+1}}（{n∈{N^+}}）$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）由于$\{\frac{1}{a_n}\}$为等差数列，若设其公差为d，则$\frac{1}{a_3}=8，\frac{1}{a_2}=\frac{1}{4}•\frac{1}{a_7}$，
∴$\frac{1}{a_1}+2d=8$，$\frac{1}{a_1}+d=\frac{1}{4}（\frac{1}{a_1}+6d）$，
解得$\frac{1}{a_1}=2，d=3$，
于是$\frac{1}{{a}_{n}}$=2+3（n-1），整理得a_n=$\frac{1}{3n-1}$．
（2）由（1）得b_n=a_na_n+1=$\frac{1}{（3n-1）（3n+2）}$=$\frac{1}{3}（\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）$，
∴${S_n}=\frac{1}{3}（\frac{1}{2}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{8}+…+\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}）=\frac{n}{2（3n+2）}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．