Question

9．已知函数f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$
（1）求f（2）+f（$\frac{1}{2}$），f（3）+f（$\frac{1}{3}$）的值；
（2）求证f（x）+f（$\frac{1}{x}$）是定值；
（3）求f（2）+f（$\frac{1}{2}$）+f（3）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（2014）+f（$\frac{1}{2014}$）的值．

Answer 1

分析 （1）代入f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$可得f（2）+f（$\frac{1}{2}$）=1，f（3）+f（$\frac{1}{3}$）=1；
（2）化简f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{1}{1+{x}^{2}}$=1；
（3）由f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1得f（2）+f（$\frac{1}{2}$）=1，f（3）+f（$\frac{1}{3}$）=1，…，f（2014）+f（$\frac{1}{2014}$）=1，从而解得．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$，
f（2）+f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{{2}^{2}}{1+{2}^{2}}$+$\frac{（\frac{1}{2}）^{2}}{1+（\frac{1}{2}）^{2}}$=1，
f（3）+f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{{3}^{2}}{1+{3}^{2}}$+$\frac{（\frac{1}{3}）^{2}}{1+（\frac{1}{3}）^{2}}$=1；
（2）证明：f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{（\frac{1}{x}）^{2}}{1+（\frac{1}{x}）^{2}}$
=$\frac{{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$+$\frac{1}{1+{x}^{2}}$=1；
（3）解：∵f（x）+f（$\frac{1}{x}$）=1，
∴f（2）+f（$\frac{1}{2}$）=1，
f（3）+f（$\frac{1}{3}$）=1，
…，
f（2014）+f（$\frac{1}{2014}$）=1，
∴f（2）+f（$\frac{1}{2}$）+f（3）+f（$\frac{1}{3}$）+…+f（2014）+f（$\frac{1}{2014}$）=2013．

点评 本题考查了函数的性质的判断与应用．