Question

【题目】. 问：是否存在正数m，使得对于任意正数，可使为三角形的三边构成三角形？如果存在：①试写出一组x,y,m的值，②求出所有m的值；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】

【解析】试题分析：首先判断a＞b，由构成三角形的条件可得b+c＞a且a+b＞c，即有+m＞x+y且x+y+＞m．运用参数分离和换元法，结合基本不等式和函数的单调性，可得最值，进而得到m的范围．

试题解析：

x＞0，y＞0，a=x+y，，，

由a2﹣b2=（x+y）2﹣（x2+xy+y2）=xy＞0，

可得a＞b，

由题意可得要构成三角形，必须

b+c＞a且a+b＞c，

即有+m＞x+y

且x+y+＞m．

由m＜，

≥=2+，

当且仅当x=y取得等号．

可得m＜2+①

由m＞，

=+﹣，

令u=，则上式为u+﹣．

可令t=u+（t≥2），可得上式为t﹣=，

可得在[2，+∞）递减，可得t﹣≤2﹣，

即有m＞2﹣②

由①②可得m的取值范围是（2﹣，2+）．