题目内容
【题目】对于函数(
为自然对数的底数,
),函数
,给出下列结论:
①函数的图象在
处的切线在
轴的截距为
②函数是奇函数,且在
上单调递增;
③函数存在唯一的极小值点
,其中
,且
;
④函数存在两个极小值点
,
和两个极大值点
,
且
.
其中所有正确结论的序号是( )
A.①②③B.①④C.①③④D.②④
【答案】C
【解析】
求出,写出切线点斜式方程,化简可判断①;由
的定义域,即可判断②;构造函数
,通过判断
的单调性,得到
的解,即可判断③;求出
,进而求出
的单调区间,极值点,根据对称性即可判断④.
对于①,,
函数的图象在
处的切线方程为
,
令,即所求的切线在
轴上的截距为
,
所以①正确;
对于②,,
定义域不关于原点对称,所以不是奇函数,所以②不正确;
对于③,,当
,
当,设
,
时,
为增函数,
又恒成立,
在
上单调递增,
即在
上单调递增,
,
,所以存在唯一的
,
使得,当
,
所以时,
取得极小值,所以③正确;
对于④,,
显然不是极值点,取
的定义域为
,
此时为奇函数,
为偶函数,
,令
,
转化为求与
在
的交点,
画出两函数图象,如下图所示,
与
在
为奇函数,
两函数图象有四个交点,与
均关于原点对称,
当时,
,
,
所以时,
取得极大值,
时,
取得极小值,
当时,
时偶函数,
,
,
所以时,
取得极大值,
时,
取得极小值,
此时,所以④正确.
故选:C.
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