Question

（2013•东至县一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=

3

asinC-ccosA
（1）求角A；
（2）若a=2，△ABC的面积为

3

，求b，c．

Answer 1

分析：（1）把已知的等式利用正弦定理化简，根据sinC不为0，得到一个关系式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出A的度数即可；
（2）由A的度数求出sinA和cosA的值，由三角形ABC的面积，利用面积公式及sinA的值，求出bc的值，记作①；由a与cosA的值，利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后，把bc的值代入求出b+c的值，记作②，联立①②即可求出b与c的值．

解答：解：（1）由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

化简已知的等式得：sinC=

3

sinAsinC-sinCcosA，
∵C为三角形的内角，∴sinC≠0，
∴

3

sinA-cosA=1，
整理得：2sin（A-

π

6

）=1，即sin（A-

π

6

）=

1

2

，
∴A-

π

6

=

π

6

或A-

π

6

=

5π

6

，
解得：A=

π

3

或A=π（舍去），
则A=

π

3

；
（2）∵a=2，sinA=

3

2

，cosA=

1

2

，△ABC的面积为

3

，
∴

1

2

bcsinA=

3

4

bc=

3

，即bc=4①；
∴由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA得：4=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=（b+c）²-12，
整理得：b+c=4②，
联立①②解得：b=c=2．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．