题目内容
(本小题满分14分)
如图5,在三棱柱
中,侧棱
底面
,
为
的中点,
,
.
(1)求证:
平面
;
(2) 求四棱锥
的体积.
图5
如图5,在三棱柱







(1)求证:


(2) 求四棱锥


(本小题满分14分)
(本小题主要考查空间线面关系、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)
(1)证明:连接
,设
与
相交于点
,连接
,
∵ 四边形
是平行四边形,
∴点
为
的中点.
∵
为
的中点,
∴
为△
的中位线,
∴
. …… 3分
∵
平面
,
平面
,
∴
平面
. …… 6分
(2)解法1: ∵
平面
,
平面
,
∴ 平面
平面
,且平面
平面
.
作
,垂足为
,则
平面
, …… 8分
∵
,
,
在Rt△
中,
,
,
…… 10分
∴四棱锥
的体积
…… 12分

.
∴四棱锥
的体积为
. …… 14分

解法2: ∵
平面
,
平面
,
∴
.
∵
,
∴
.
∵
,
∴
平面
. …… 8分
取
的中点
,连接
,则
,
∴
平面
.
三棱柱
的体积为
, …… 10分
则
,
.
…… 12分
而


,
∴

. ∴
.
∴四棱锥
的体积为
. …… 14分
(本小题主要考查空间线面关系、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)
(1)证明:连接





∵ 四边形

∴点


∵


∴


∴

∵





∴



(2)解法1: ∵




∴ 平面







作




∵


在Rt△



…… 10分
∴四棱锥




∴四棱锥



解法2: ∵




∴


∵

∴


∵

∴


取




∴


三棱柱


则



…… 12分
而




∴




∴四棱锥


略

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