Question

（本小题满分14分）
如图5,在三棱柱中，侧棱底面,为的中点,
,.
（1）求证：平面；
(2) 求四棱锥的体积.  图5

Answer 1

（本小题满分14分）
(本小题主要考查空间线面关系、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)
（1）证明:连接,设与相交于点,连接,
∵ 四边形是平行四边形,
∴点为的中点.                   
∵为的中点，
∴为△的中位线,
∴ .                   …… 3分
∵平面,平面,
∴平面.             …… 6分
(2)解法1: ∵平面,平面,
∴ 平面平面，且平面平面.
作，垂足为，则平面，                      …… 8分
∵，，
在Rt△中，，，
…… 10分
∴四棱锥的体积             …… 12分
.
∴四棱锥的体积为.                                     …… 14分

解法2: ∵平面,平面,
∴.
∵,
∴.
∵,
∴平面.        …… 8分
取的中点,连接,则,
∴平面.
三棱柱的体积为,                   …… 10分
则,.
…… 12分
而,
∴.      ∴.
∴四棱锥的体积为.                                       …… 14分

略