题目内容

[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，计20分．请把答案写在答题纸的指定区域内．
A．（选修4-1：几何证明选讲）
如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，求线段AE的长．
B．（选修4-2：矩阵与变换）
已知二阶矩阵A有特征值λ1=3及其对应的一个特征向量α1=
1
1
，特征值λ2=-1及其对应的一个特征向量α2=
1
-1
，求矩阵A的逆矩阵A-1．
C．（选修4-4：坐标系与参数方程）
以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系（两种坐标系中取相同的单位长度），已知点A的直角坐标为（-2，6），点B的极坐标为(4，
π
2
)，直线l过点A且倾斜角为
π
4
，圆C以点B为圆心，4为半径，试求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程．
D．（选修4-5：不等式选讲）
设a，b，c，d都是正数，且x=
a2+b2
，y=
c2+d2
．求证：xy≥
(ac+bd)(ad+bc)
．
分析：A 利用条件△OBC为正三角形，得∠DCA=∠CBO=60°；再结合条件得∠EAB=60°；最后在RT△BAE中，求出结论即可．
B 先设出矩阵A，根据条件列出关于变量得四个等式，解出变量即可求出矩阵A；进而求出矩阵A的逆矩阵A-1．
C：直接根据直线L过点（-2，6），倾斜角为
π
4
即可求出直线l的参数方程，同理得到圆C的极坐标方程．
D；直接根据（a2+b2）（c2+d2）-（ac+bd）2=（ad-bc）2≥0，进而得到
a2+b2
c2+d2
≥ac+bd＞0，①．同理得到：
a2+b2
c2+d2
≥ad+bc＞0  ②；相乘即可得结论．
解答：解：A、证明：连接OC，BE，AC，则BE⊥AE，
∵BC=4，
∴OB=OC=BC=4，即△OBC为正三角形．
∴∠CBO=∠COB=60°．
又直线L切圆O与C，
∴∠DCA=∠CBO=60°；
∵AD⊥L，∴∠DAC=90°-60°=30°．
而∠OAC=∠ACO=
1
2
∠COB=30°．
∴∠EAB=60°．
在RT△BAE中，∠EBA=30°，∴AE=
1
2
AB=4．
B；解：设二阶矩阵A=
.
ab
cd
.
，
则有
.
ab
cd
.
.
1
1
.
=3
.
1
1
.
，且
.
ab
cd
.
.
1
-1
.
=-
.
1
-1
.
，
即
a+b=3
a-b=-1
，且
c+d=3
c-d=1
，
解得a=1，b=2，c=2，d=1．
∴A=
.
12
2′1
.
，从而A-1=
.
-
1
3
2
3
2
3
-
1
3
.
．
C．直线L过点（-2，6），倾斜角为
π
4
．
所以直线得参数方程为
x=-2+
2
2
t
y=6+
2
t
2
（t为参数）．
又圆心B得直角坐标为（0，4），半径为4，
所以圆C得直角坐标方程为：x2+（y-4）2=16．
将x=ρ•cosθ，y=ρ•sinθ代入化简得圆C得极坐标为ρ=8•sinθ．
D；∵（a2+b2）（c2+d2）-（ac+bd）2=（ad-bc）2≥0，
∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2，又a，b，c，d都是正数．
∴
a2+b2
c2+d2
≥ac+bd＞0，①．
同理：
a2+b2
c2+d2
≥ad+bc＞0  ②．
①×②得：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）（ad+bc）＞0．
∴
(a2+b2)(c2+d2)
≥
(ac+bd)(ad+bc)
，
∴xy≥
(ac+bd)(ad+bc)
．
点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，简单的矩阵运算和利用基本不等式证明不等式，属于基础题．
练习册系列答案
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（选做题）在A，B，C，D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过
N点的切线交CA的延长线于P．
（1）求证：PM2=PA•PC；
（2）若⊙O的半径为2
3
，OA=
3
OM，求MN的长．
B．选修4-2：矩阵与变换
曲线x2+4xy+2y2=1在二阶矩阵M=
.
1a
b1
.
的作用下变换为曲线x2-2y2=1，求实数a，b的值；
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=
2
cos(θ+
π
4
)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
x=1+
4
5
t 
y=-1-
3
5
t 
（t为参数），求直线l被圆C所截得的弦长．
D．选修4-5：不等式选讲
设a，b，c均为正实数．
（1）若a+b+c=1，求a2+b2+c2的最小值；
（2）求证：
1
2a
+
1
2b
+
1
2c
≥
1
b+c
+
1
c+a
+
1
a+b
．
选做题：在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，PA切⊙O于点A，D为PA的中点，过点D引割线交⊙O于B、C两点．求证：∠DPB=∠DCP．
B．选修4-2：矩阵与变换
设M=
.
10
02
.
，N=
.
1
2
0
01
.
，试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的曲线方程．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ=
2
cos(θ+
π
4
)，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为
x=1+
4
5
t
y=-1-
3
5
t
（t为参数），求直线l被圆C所截得的弦长．
D．选修4-5：不等式选讲
解不等式：|2x+1|-|x-4|＜2．
（选做题）在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（B）（选修4-2：矩阵与变换）
二阶矩阵M有特征值λ=8，其对应的一个特征向量e=
1
1
，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成点（-2，4），求矩阵M2．
（C）（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，直线l的参数方程为
x=-
3
t
y=1+t
（t为参数，t∈R）．试在曲线C上一点M，使它到直线l的距离最大．
 选做题（在A、B、C、D四小题中只能选做两题，并将选作标记用2B铅笔涂黑，每小题10分，共20分，请在答题指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
A、（选修4-1：几何证明选讲）
如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于E，求证：AB2=AE•AD
B、（选修4-2：矩形与变换）
已知a，b实数，如果矩阵M=
1a
b2
所对应的变换将直线3x-y=1变换成x+2y=1，求a，b的值．
C、（选修4-4，：坐标系与参数方程）
设M、N分别是曲线ρ+2sinθ=0和ρsin（θ+
π
4
）=
2
2
上的动点，判断两曲线的位置关系并求M、N间的最小距离．
D、（选修4-5：不等式选讲）
设a，b，c是不完全相等的正数，求证：a+b+c＞
ab
+
bc
+
ca
．
选做题：在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，AD是∠BAC的平分线，⊙O过点A且与BC边相切于点D，与AB、AC分别交于E，F，求证：EF∥BC．

B．选修4-2：矩阵与变换
已知a，b∈R若矩阵M=
.
-1a
b3
.
所对应的变换把直线l：2x-y=3变换为自身，求a，b的值．

C．选修4-4：坐标系与参数方程
将参数方程
x=2(t+
1
t
)
y=4(t-
1
t
)
（t为参数）化为普通方程．
D．选修4-5：不等式选讲
已知a，b是正数，求证：（a+
1
b
）（2b+
1
2a
）≥
9
2
．

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