Question

在等比数列{a_n}中，a_n＞0（n∈N^*），公比q∈（0，1），且a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，又a₃与a₅的等比中项为2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₂a_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，求数列{S_n}的通项公式；
（3）是否存在k∈N^*，使得

S1

1

+

S2

2

+…+

Sn

n

＜k对任意n∈N^*恒成立，若存在，求出k的最小值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据等比数列的性质可知a₁a₅=a₃²，a₂a₈=a₅²化简a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25得到a₃+a₅=5，又因为a₃与a₅的等比中项为2，联立求得a₃与a₅的值，求出公比和首项即可得到数列的通项公式；
（2）把a_n代入到b_n=

log

an 2

中得到b_n的通项公式，即可得到前n项和的通项s_n；
（3）把s_n代入得到

sn

n

，讨论求出

sn

n

各项和的最大值，即可求出k的取值范围．

解答：解：（1）∵a₁a₅+2a₃a₅+a₂a₈=25，
∴a₃²+2a₃a₅+a₅²=25，
∴（a₃+a₅）²=25，
又a_n＞0，∴a₃+a₅=5，
又a₃与a₅的等比中项为2，
∴a₃a₅=4．
而q∈（0，1），
∴a₃＞a₅，∴a₃=4，a₅=1，
∴q=

1

2

，a₁=16，∴a_n=16×（

1

2

）^n-1=2^5-n．
（2）∵b_n=log₂a_n=5-n，∴b_n+1-b_n=-1，
b₁=log₂a₁=log₂16=log₂2⁴=4，
∴{b_n}是以b₁=4为首项，-1为公差的等差数列，
∴S_n=

n(9-n)

2

．
（3）由（2）知S_n=

n(9-n)

2

，∴

Sn

n

=

9-n

2

．
当n≤8时，

Sn

n

＞0；当n=9时，

Sn

n

=0；
当n＞9时，

Sn

n

＜0．
∴当n=8或9时，

S1

1

+

S2

2

+

S3

3

++

Sn

n

=18最大．
故存在k∈N^*，使得

S1

1

+

S2

2

++

Sn

n

＜k对任意n∈N^*恒成立，k的最小值为19．

点评：考查学生灵活运用等比数列性质的能力，掌握等比数列的通项公式，会进行数列的求和，理解函数恒成立时所取的条件．