题目内容
设数列的前项和为,且对任意的,都有,.
(1)求,的值;
(2)求数列的通项公式;
(3)证明:.
(1)求,的值;
(2)求数列的通项公式;
(3)证明:.
(1) (2) (3)见解析
(1)解:当时,有,
由于,所以.
当时,有,即,
将代入上式,由于,所以.
(2)解:由,
得, ①
则有. ②
②-①,得,
由于,所以. ③
同样有, ④
③-④,得.
所以.
由于,即当时都有,所以数列是首项为1,公差为1的等差数列.
故.
(3)证明1:由于,
,
所以.
即.
令,则有.
即,
即
故.
证明2:要证,
只需证,
只需证,
只需证.
由于
.
因此原不等式成立.
由于,所以.
当时,有,即,
将代入上式,由于,所以.
(2)解:由,
得, ①
则有. ②
②-①,得,
由于,所以. ③
同样有, ④
③-④,得.
所以.
由于,即当时都有,所以数列是首项为1,公差为1的等差数列.
故.
(3)证明1:由于,
,
所以.
即.
令,则有.
即,
即
故.
证明2:要证,
只需证,
只需证,
只需证.
由于
.
因此原不等式成立.
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