题目内容
【题目】已知椭圆的左、右焦点为,离心率为,点在椭圆上,且的面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线与椭圆交于不同的两点,若在轴上存在点,使得,求实数的取值范围.
【答案】(1) ;(2).
【解析】
(1)根据离心率得到,由的面积的最大值为得到,再结合椭圆中求出参数的值后可得方程.(2)将直线方程代入椭圆方程消去y得到关于x的二次方程,结合根据系数的关系求出线段的中点的坐标,由得,进而有,并由此得到,最后根据基本不等式得到所求范围.
(1)由题意得,解得.
∴椭圆的方程为.
(2)由消去y整理得,
且.
设,线段的中点为,
则.
∴,
∴.
∵在轴上存在点,使得,
∴,
∴,即,
∴.
∵,
∴,当且仅当且,即时等号成立.
∴,故.
∴实数的取值范围为.
【题目】2019年春节档有多部优秀电影上映,其中《流浪地球》是比较火的一部.某影评网站统计了100名观众对《流浪地球》的评分情况,得到如下表格:
评价等级 | ★ | ★★ | ★★★ | ★★★★ | ★★★★★ |
分数 | 0~20 | 2140 | 4160 | 61~80 | 81100 |
人数 | 5 | 2 | 12 | 6 | 75 |
(1)根据以上评分情况,试估计观众对《流浪地球》的评价在四星以上(包括四星)的频率;
(2)以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率,假设每个观众的评分结果相互独立.
(i)若从全国所有观众中随机选取3名,求恰有2名评价为五星1名评价为一星的概率;
(ii)若从全国所有观众中随机选取16名,记评价为五星的人数为X,求X的方差.
【题目】为了解某地区足球特色学校的发展状况,某调查机构得到如下统计数据:
年份x | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
足球特色学校y(百个) | 0.30 | 0.60 | 1.00 | 1.40 | 1.70 |
(1)根据上表数据,计算y与x的相关系数r,并说明y与x的线性相关性强弱(已知:则认为与线性相关性很强;,则认为与线性相关性一般,,则认为y与x线性相关性较弱)
(2)求y与x的线性回归方程,并预测该地区2019年足球特色学校的个数(精确到个位)
参考公式:
;
【题目】某脐橙种植基地记录了10棵脐橙树在未使用新技术的年产量(单位:)和使用了新技术后的年产量的数据变化,得到表格如下:
未使用新技术的10棵脐橙树的年产量
第一棵 | 第二棵 | 第三棵 | 第四棵 | 第五棵 | 第六棵 | 第七棵 | 第八棵 | 第九棵 | 第十棵 | |
年产量 | 30 | 32 | 30 | 40 | 40 | 35 | 36 | 45 | 42 | 30 |
使用了新技术后的10棵脐橙树的年产量
第一棵 | 第二棵 | 第三棵 | 第四棵 | 第五棵 | 第六棵 | 第七棵 | 第八棵 | 第九棵 | 第十棵 | |
年产量 | 40 | 40 | 35 | 50 | 55 | 45 | 42 | 50 | 51 | 42 |
已知该基地共有20亩地,每亩地有50棵脐橙树.
(1)估计该基地使用了新技术后,平均1棵脐橙树的产量;
(2)估计该基地使用了新技术后,脐橙年总产量比未使用新技术将增产多少?
(3)由于受市场影响,导致使用新技术后脐橙的售价由原来(未使用新技术时)的每千克10元降为每千克9元,试估计该基地使用新技术后脐橙年总收入比原来增加的百分数.